
\section*{内容摘要} 
本书介绍了粒子动力学基本原理与计算方法。

	
\section*{前言} 
\addcontentsline{toc}{section}{前言}
粒子动力学主要研究物质世界的动力学原理和计算方法。它研究宏观天体和微观粒子遵守的普遍物理规律，包括物质形状、轨道、密度、相互作用力、速度、动量、能量及其计算方法。
	
	欢迎读者反馈书中的问题。联系方式：uesoft@163.com。
	

\tableofcontents
\newpage
\part{理论粒子动力学}
\chapter{质量、长度、时间}
通过定义质量、长度、时间三个基本物理量，可以导出现代物理学的7个基本物理量，并推导出其余所有物理量。
\section{定义}
\subsection{质量}
牛顿在其名著《自然哲学的数学原理》开篇就给出了定义：第一个定义是质量定义。“物质的量是物质的度量，可由其密度和体积共同求出。”

质量（mass）是物体所具有的一种物理属性，是物质的量的量度，它是一个正的标量。更准确地描述是：质量是物质包含的粒子的所有粒子的质量，是粒子个数N与粒子质量$m_p$的乘积。
\subsection{参照系}
参照系，又称参考系，参考体，参照物，指研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不作相对运动的物体系。  

如果物体相对于参照系的位置在变化，则表明物体相对于该参照系在运动；如果物体相对于参照系的位置不变，则表明物体相对于该参照系是静止的。同一物体相对于不同的参照系，运动状态可以不同。这称为运动描述的相对性，也简称为运动的相对性。运动的相对性这一说法本身，反映了参照系之间存在相对运动，反映了宇宙间所有物质处于永恒运动之中。运动是物质存在的形式，物质运动存在于人类意识之外，这便是所谓运动本身的绝对性。在认识运动的相对性同时，还必须认识运动本身的绝对性。
\subsection{坐标系}
为了定量地描述物体的运动，我们在参考系上还要建立坐标系。一般在参考系选择一点作为坐标系的原点，取通过原点并附标度的线作为坐标轴，再加上与参考系固连的时钟。常用的一种坐标系包括一个原点和三条互相垂直的坐标轴(X、Y、Z轴)。这种坐标系称为直角坐标系或正交坐标系，也称为笛卡尔坐标系。根据需要，也可以选择平面极坐标系(简称极坐标系)、圆柱面坐标系(也称柱面坐标系或柱坐标系)和球面坐标系(或称球坐标系)等。
\subsection{惯性参考系}
牛顿把作匀速直线运动的参考系叫做惯性参考系。

惯性参考系是一种理想物理模型，就像质点是一种理想物理模型一样，是不可能存在的，但可以无限逼近。惯性参考系的运动加速度必须为0，而任何系统加速度都不可能为0，因为任何物体总是在绕某个中心在转动，只是转动的加速度可能很小。因此，判断一个特定参考系是不是惯性系，取决于能以多大的精确度去测出这个参考系的微小加速度效应。

在地面上的一般工程动力学中，由于地球的自转角速度较小，地面上一点绕地轴旋转的向心加逮度很小，可取与地球固连的坐标系作为惯性参考系。在一些必须把地球自转计算在内的问题中，例如研究陀螺仪表的漂移时，可采用地球中心坐标系作为近似的惯性参考系，其原点与地球中心重合，轴指向所认定的恒星。天文学中则采用黄道坐标系或银道坐标系作为惯性参考系。地球表面赤道上一点绕地心旋转的向心加速度为3.4$cm/s^2$，地球绕太阳公转的向心加速度为0.6$cm/s^2$，太阳绕银河系中心转动的向心加速度约为$3\cdot10^{-8}cm/s^2$。从以上数据可看出所选取的参考系近似惯性参考系的程度。
\subsection{非惯性参考系}
对惯性参考系作非匀速直线运动的参考系，叫做非惯性参考系，简称非惯性系。

可以证明，所有的参考系都是非惯性参考系。但是，当非惯性系的加速度与研究物体的加速度相比很小可以忽略不计时，可以把非惯性参考系当做惯性参考系。
\subsection{伽利略相对性原理}
伽利略相对性原理也称力学相对性原理，是指力学定律在任何惯性参考系(惯性系)中数学形式不变，换言之，所有惯性系都是等价的。

伽利略用物理学原理为哥白尼地动学说进行辩解时，应用运动独立性原理通俗说明了石子从桅杆顶上掉落到桅杆脚下而不向船尾偏移的道理。进一步以作匀速直线运动的船舱中物体运动规律不变的著名论述，第一次提出惯性参考系(惯性系)的概念。这一原理被爱因斯坦称为伽利略相对性原理，是狭义相对性原理的先导。从伽利略变换可以导出力学相对性原理。

在一个惯性系的内部所作的任何经典力学实验，都不能确定这一惯性系本身是处于相对静止状态，还是匀速直线运动状态。换言之，力学定律在任何一个惯性系中数学形式不变。

可以证明，宇宙中不存在惯性系，因此力学定律在任何一个参考系中都会改变数学型式，但由于某些参考系加速度很小，因此可以认为在误差范围内，力学定律数学型式不变。
\subsection{长度}
长度是空间的度量，为点到点的距离。
\subsection{三维空间}
三维空间是指参考系中直角坐标系三个互相垂直的坐标轴所测绘的空间。日常生活中使用的“三维空间” 一词，常常是指三维的欧几里德空间。
\subsection{时间和时刻}
任何物质运动都是在时间和空间中进行的。运动不能脱离空间，也不能脱离时间。时间具有单方向性特点。“光阴一去不复返”，说明了时间的单方向性。

在运动学中，除了时间，还经常用到时刻概念。在一定的参照系中考察质点的运动时，与质点所在某个位置对应的为某个时刻，与质点所经过的某一段距离相对应的是一段时间。例如，火车从北京开出瞬间，是某个时刻。火车从北京开到上海，需经历一段时间。

时间是一个较为抽象的概念，是物质的运动、变化的持续性、顺序性的表现。时间概念包含时刻和时段两个概念。时间是人类用以描述物质运动过程或事件发生过程的一个参数，确定时间，是靠不受外界影响的物质周期变化的规律。例如月球绕地球周期，地球绕太阳周期，地球自转周期，原子震荡周期等。
\chapter{球体动力学}
\section{引力}
设两个密度均匀的大球、小球代号分别为1,2，质量分别为$M,m$，球心距离为r,则球1吸引球2的力F1大小等于球2吸引球1的力F2的大小，F1与F2方向相反，从被吸引的球心指向吸引球的中心，称这种互相吸引的力为引力F，F由牛顿万有引力定律给出
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw46}
F=-\frac{GMm}{r^2}
\end{equation}
\section{球运动坐标系}

\section{球公转定律}
如果球2在引力作用下绕球1旋转，则球2的运动规律满足下面描述的开普勒定律。
\subsection{行星运动定律}
1609年，约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler，1571.12.27-1630.11.15，生于德国符腾堡的威尔德斯达特镇)发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，公布了两个定律：

(一)所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。

这是行星运动第一定律(也叫轨道定律)。

(二)在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。

这是行星运动的第二定律(也叫面积定律)。

十年后，1619年，开普勒在《宇宙和谐论》(Harmonices Mundi，1619)发表了他的行星运动第三定律：行星距离太阳越远，它的运转周期越长；运转周期的平方与到太阳之间距离的立方成正比。
\subsection{比耐方程}
由雅克·菲利普·玛丽·比耐(Jacques Philippe Marie Binet,1786.02.02–1856.05.12，法国)推导出的Binet方程\cite{bineteq}，给出了平面极坐标中轨道运动形状的中心力的形式。 该方程也可用于推导给定力定律的轨道形状，但这通常涉及二阶非线性常微分方程的解。 在围绕力中心的圆周运动的情况下，不可能有唯一解。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=1]{binet}
	\caption{比耐方程示意图 \label{binet}}	
\end{figure}
轨道的形状通常根据相对距离r 方便地描述为角度$\theta$的函数。 对于Binet方程，轨道形状由倒数u = 1 / r 更简洁地描述为$\theta$的函数。 将比角动量定义为h = L / m ,其中L是角动量\footnote{\label{angularMomentum}角动量L的严格定义为：$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$，其中$\mathbf{r}$为位置矢量，$\mathbf{p}$为动量矢量。} (参见第\pageref{angularMomentum}页脚注\ref{angularMomentum})，m是质量。 在下一节中导出的Binet方程根据函数$u(\theta)$给出力：
\begin{equation}
\label{bineteq1}
F({u}^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u\right)
\end{equation}

推导比耐方程

方法1：

牛顿第二定律对于纯的中心力场是

\begin{equation}
\label{bineteqnewtonm11}
F(r)=m(\ddot{r}-r\dot{\theta }^2)
\end{equation}

动量矩守恒要求

\begin{equation}
\label{bineteqnewtonm12}
r^2\dot{\theta }=h=\text{constant}
\end{equation}

r对时间的导数可以被重写为u=1/r对角度的导数

\begin{equation}
\label{bineteqnewtonm13}
\begin{cases}
\frac{du}{d\theta }=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{dt}{d\theta }=-\frac{\dot{r}}{r^2\dot{\theta }}=-\frac{\dot{r}}{h} \\ 
\frac{d^2u}{d\theta^2}=-\frac{1}{h}\frac{d\dot{r}}{dt}\frac{dt}{d\theta}=-\frac{\ddot{r}}{h\dot{\theta }}=-\frac{\ddot{r}}{h^2u^2} 
\end{cases}
\end{equation}

联立上面所有公式，得到

\begin{equation}
\label{bineteqwiki}
F=m(\ddot{r}-r\dot{\theta }^2)=-m\left(h^2u^2\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta ^2}+h^2u^{3}\right)=-mh^2u^2\left(\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta ^2}+u\right)
\end{equation}

即

\begin{equation}
\label{bineteqstd}
C^2u^2(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=-\frac{F}{m}
\end{equation}

其中C=h。这就是比耐方程。

方法2：

如图\ref{binet}，首先我们看在一般的中心力场中的规律。所谓中心力场,就是满足$F = F (r) \frac{\vec r}{r}$这样的力场,比如万有引力只与距离r有关,我们把这种只与距离有关而与其他量(比如角度$\theta,\phi$)无关的力场叫做中心力场。中心力场中的物体运动轨迹一定是在一个平面内。

根据牛顿第二定律
\begin{equation}
\label{bineteqnewton}
F (r) \frac{\vec r}{r}=m\vec a=m\frac{d^2\vec r}{dt^2}
\end{equation}

写成x, y分量形式
\begin{equation}
\label{bineteqnewton2x}
m\frac{d^2x}{dt^2}=F (r) \frac{x}{r}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton2y}
m\frac{d^2y}{dt^2}=F (r) \frac{y}{r}
\end{equation}

由直角坐标和极坐标互化公式$x = rcos\theta, y = rsin\theta$得

\begin{equation}
\label{bineteqnewton3dx}
\frac{dx}{dt}=\frac{dr}{dt}cos\theta-rsin\theta\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton3d2x}
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}cos\theta-sin\theta\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}-\frac{dr}{dt}sin\theta\frac{d\theta}{dt}-rcos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2-rsin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton3dy}
\frac{dy}{dt}=\frac{dr}{dt}sin\theta+rcos\theta\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton3d2y}
\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}sin\theta+cos\theta\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\frac{dr}{dt}cos\theta\frac{d\theta}{dt}-rsin\theta (\frac{d\theta}{dt})^2+rcos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{equation}

式\ref{bineteqnewton3d2x} 加式\ref{bineteqnewton3d2y} ，得到

\begin{equation}
\label{bineteqnewton4}
\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}(cos\theta+sin\theta)+(-sin\theta+cos\theta)\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\frac{dr}{dt}(-sin\theta+cos\theta)\frac{d\theta}{dt}-r(cos\theta+sin\theta) (\frac{d\theta}{dt})^2+r(-sin\theta+cos\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{equation}

合并同类项

\begin{equation}
\label{bineteqnewton5}
\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2r}{dt^2}(cos\theta+sin\theta)+2(-sin\theta+cos\theta)\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}-r(cos\theta+sin\theta) (\frac{d\theta}{dt})^2+r(-sin\theta+cos\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton6}
\vec a=\frac{d^2r}{dt^2}(cos\theta+sin\theta)+2(-sin\theta+cos\theta)\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}-r(cos\theta+sin\theta) (\frac{d\theta}{dt})^2+r(-sin\theta+cos\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{equation}

化简得到

\begin{equation}
\label{bineteqnewton7}
m(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)=F(r)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton8}
m(r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt})=0
\end{equation}

把式\ref{bineteqnewton8}凑全微分，得

\begin{equation}
\label{bineteqnewton9}
m\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\frac{d\theta}{dt})=0
\end{equation}

所以

\begin{equation}
\label{bineteqnewton10}
r^2\frac{d\theta}{dt}=Constant
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton11}
mr^2\frac{d\theta}{dt}=Constant
\end{equation}

这样我们得到了中心力场的基本方程组\ref{bineteqnewton7} 和\ref{bineteqnewton10} 。

现在对中心力场方程组消去时间变量，就得到任意中心力场下的运动轨迹方程$r=r(\theta)$，这是极坐标形式方程。

令

\begin{equation}
\label{bineteqnewton11_1}
u=\frac{1}{r}
\end{equation}

代入式\ref{bineteqnewton10} ，得

\begin{equation}
\label{bineteqnewton12}
\frac{d\theta}{dt}=Cu^2
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton13}
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{d\theta}(\frac{1}{u})\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-C\frac{du}{d\theta}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{bineteqnewton14}
\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d}{dt}\frac{dr}{dt}=\frac{d}{dt}(-C\frac{du}{d\theta})=\frac{d}{d\theta}(-C\frac{du}{d\theta})\frac{d\theta}{dt}=-C^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}
\end{equation}

把以上三式代入\ref{bineteqnewton7}，得到式 \ref{bineteqstd} ，就是所要求的轨道微分方程，该式由法国科学家Binet首次导出，通常叫做比耐方程。

对于引力，F为负号；对于斥力，F为正值。

\subsection{行星运动定律的数学描述}
现在，我们使用数学公式描述开普勒的行星运动定律。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=1]{kepler2}
	\caption{开普勒定律示意图 \label{kepler2}}	
\end{figure}

设A是矢径扫过的面积,由开普勒第二定律,知道单位时间内,矢径所扫过的面积相等,即
$\frac{dA}{dt}= constant$,现在来求 dA/dt 的表达式。

如图\ref{kepler2} 所示，设O点是太阳位置，$P_1,P_2$分别是行星沿着轨道运动时的两个相邻位置,对太阳张开的角度为$\Delta\theta$,从$P_1$到$P_2$的时间是$\Delta t$,在这一段时间内扫过的面积$\Delta A$为$OP_1P_2$。当$\Delta t\to 0,P_2\to P_1,\Delta A$就近似的等于$\Delta OP_1P_2$的面积,即 $\frac{1}{2}r^2\Delta \theta$,所以

\begin{equation}
\label{kepler2ndlaw1}
\frac{dA}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{1}{2}r^2\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}

即

\begin{equation}
\label{kepler2ndlaw2}
2\frac{dA}{dt}=r^2\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}
或

\begin{equation}
\label{kepler2ndlaw3}
2\frac{dA}{dt}=C
\end{equation}
或

\begin{equation}
\label{kepler2ndlaw4}
r^2\frac{d\theta}{dt}=C
\end{equation}

式\ref{kepler2ndlaw3} 或式\ref{kepler2ndlaw4}就是开普勒第二定律的数学表达式。

开普勒第一定律的数学表达式就是式\ref{Elliptic_equation}，它是椭圆的标准方程。

下面求开普勒第三定律的数学表达式。

对式\ref{kepler2ndlaw3}两边积分，积分范围是全周期，得到

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw21}
2A=CT=2\pi ab
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw22}
T=\frac{2\pi ab}{C}
\end{equation}

上式两边平方，得到
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw24}
T^2=\frac{(2\pi ab)^2}{C^2}
\end{equation}

上式两边同除以$a^3$，得到
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw25}
\frac{T^2}{a^3}=\frac{(2\pi ab)^2}{C^2a^3}=C1
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw26}
\frac{T^2}{a^3}=\frac{(2\pi b)^2}{C^2a}
\end{equation}

上式就是开普勒第三定律的数学描述，它表明，轨道周期的平方与半长轴的立方之比是一个常数。这样我们就从开普勒第二定律积分导出了开普勒第三定律。

我们在推导过程中使用了微积分知识，但开普勒当时没有微积分工具，他在1609年发表行星运动第一、第二定律以后，又过了十年，于1619年才发表行星运动第三定律，其中推导至少花了6年，艰难程度可见一斑。又过了将近50年，牛顿才发明了流数术等微积分工具，推导出万有引力定律。

把式\ref{Elliptic_equation_polar}代入式\ref{kepler2ndlaw2}，两边积分得到
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw27}
\int 2dA=\int \frac{p^2d\theta}{(1+ecos\theta)^2}
\end{equation}

现在我们根据开普勒第二定律的结果，知道这个椭圆积分有一个简洁的解析结果是

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw28}
\int_0^{2\pi} \frac{p^2d\theta}{(1+ecos\theta)^2}=2\pi ab,
\end{equation}

其中$c=\sqrt{a^2-b^2},e=\frac{c}{a},p=a(1-e^2),a>b>0$，并且满足椭圆方程 \ref{Elliptic_equation_polar}。

\subsection{导出万有引力定律}
现在我们要利用前面的推导结论，推导万有引力定律。

根据式 \ref{kepler3rdlaw26} 和式 \ref{Elliptic_equation10}，可得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw29}
\frac{C^2}{p}=\frac{4\pi^2a^3}{T^2}=k^2
\end{equation}

联立 \ref{bineteqnewton11_1}和 \ref{Elliptic_equation_polar}，解得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw30}
u=\frac{1+ecos\theta}{p}
\end{equation}

上式对角度求导，得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw31}
\frac{du}{d\theta}=\frac{-esin\theta}{p}
\end{equation}

再对角度求导，得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw32}
\frac{d^2u}{d\theta^2}=\frac{-ecos\theta}{p}
\end{equation}

联立式 \ref{kepler3rdlaw32}和 \ref{kepler3rdlaw30} 、 \ref{bineteqstd}，解得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw33}
-\frac{F}{m}=C^2u^2(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=C^2u^2(\frac{-ecos\theta}{p}+\frac{1+ecos\theta}{p})=\frac{C^2}{p}u^2=k^2\frac{1}{r^2}
\end{equation}

即

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw34}
F=-\frac{mk^2}{r^2}
\end{equation}

根据牛顿第三定律，A吸引B的力与B吸引A的力是一对作用力和反作用力，它们应当有相同的性质，即B对A的吸引力的表达式为

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw35}
F'=-\frac{Mk'^2}{r^2}
\end{equation}

由牛顿第三定律知道，F与F'大小相等，即

$F=F'$

联立上面三式，得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw36}
-\frac{mk^2}{r^2}=-\frac{Mk'^2}{r^2}
\end{equation}

移项后得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw37}
\frac{k^2}{M}=-\frac{k'^2}{m'}
\end{equation}

因为k和M是已知量，所以可以令

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw38}
G=\frac{k^2}{M}
\end{equation}

即
\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw45}
k^2=GM
\end{equation}

上式代入式 \ref{kepler3rdlaw34}得

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw46}
F=-\frac{GMm}{r^2}
\end{equation}

这就是万有引力定律。

上面是根据椭圆轨道方程推导得到万有引力定律的。如果是双曲线轨道或抛物线轨道，是否也能导出万有引力定律呢？

因为圆锥曲线极坐标形式一般方程为 \ref{conic_equation_polar}，它比椭圆极坐标方程 \ref{Elliptic_equation_polar}只在右端分子多了系数e，从而u及其1、2阶对角度的导数在形式上只比 \ref{kepler3rdlaw30}、 \ref{kepler3rdlaw31}、 \ref{kepler3rdlaw32}分母多一个系数e，因此在式  \ref{kepler3rdlaw33}第2个等号后也只是分母多一个系数e，因此不改变  \ref{kepler3rdlaw34}的形式。这就是说，只要满足圆锥曲线的极坐标方程，就可以得到万有引力定律。这个结论是否合理呢？

这个结论是合理的。万有引力可以使得质点运动到平面内任何位置。在二体运动中，质点的轨道是圆锥曲线，根据不同的初速度，轨道曲线可以是椭圆、抛物线、双曲线。质点运动只有在椭圆轨道是稳定的，在其它类型轨道上运动将只有经过焦点附近时才能被短暂地观测到。稳定的椭圆轨道对应质点的某个能量状态，质点在得到外部能量以后，会转移到能量更高的椭圆轨道运行。如果质点能量达到临界能量，质点会进入抛物线轨道。如果质点能量超过临界能量，质点将进入双曲线轨道，永远弹射出去离开系统，不再回归。这种现象出现在粒子碰撞过程中，粒子对撞机就是根据类似原理设计的。

\begin{equation}
\label{kepler3rdlaw47}
F=-\frac{GMm}{r^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{Elliptic_equation_polar}
r=\frac{p}{1+ecos\theta}
\end{equation}

\subsection{导出行星轨道定律}
现在我们推导行星轨道定律。

行星绕太阳运行，受到万有引力：

\begin{equation}
\label{planetorbit1}
F=-\frac{GMm}{r^2}=-GMmu^2
\end{equation}

代入比耐方程 \ref{bineteqstd} 得到

\begin{equation}
\label{planetorbit2}
h^2u^2(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=GMu^2
\end{equation}

化简为

\begin{equation}
\label{planetorbit3}
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{GM}{h^2}
\end{equation}

上式左边类似振动方程，通解为三角函数，解为

\begin{equation}
\label{planetorbit4}
u=\frac{GM}{h^2}+Asin(\theta +\phi)
\end{equation}

即

\begin{equation}
\label{planetorbit5}
r=\frac{1}{\frac{GM}{h^2}+Asin(\theta +\phi)}
\end{equation}

其中A,$\phi$为常数，由初状态确定。上式即为轨道方程，几何上为极坐标表示的圆锥曲线方程。

与圆锥曲线的极坐标方程\ref{conic_equation_polar}对比，可以看出

偏心率$e=\frac{Ah^2}{GM}$,

$p=\frac{1}{A}$

因此，行星在万有引力作用下绕太阳运行的轨道是圆锥曲线，稳定的轨道是椭圆曲线，这就是开普勒发现的行星运动第一定律。

至此，我们根据比耐方程，从开普勒行星运动定律推导出了万有引力定律，也从万有引力定律推导出了开普勒行星运动定律。可以证明这两个定律反映了物质世界的普遍规律，从宏观天体到基本粒子都适用这两个定律。

后面我们将要使用它们推导库仑定律和电磁场方程以及其它物理定律。
\section{8大行星自转}
行星本体环绕其质心轴所做周期性的旋转运动。八大行星都有自转。用两个参数表征:(1)自转周期,有1颗(地球)自转周期为1天(恒星周期);有3颗自转周期超过1天,以天计(水星58.6天、金星243.0天、火星1.02天);有4颗自转周期不足1天,以小时计(木星9.8时、土星10.2时、天王星17.9时、海王星19.2时)。(2)自转方向,有2颗(金星和天王星)逆行自转,即由东向西;有6颗(水星、地球、火星、木星、土星和海王星)顺向自转,即由西向东。庞大而高速自转的木星和土星,在不同纬度处自转速度不同:赤道区自转快,高纬区自转慢,随纬度增高而自转速度递减。
\section{球自转定律}
任何公转的球必然有自转，自转周期由下式给出：

证明：

设球2公转轨道面

\section{物质的普遍形态}
从不同的距离观察物质可以看到不同的物质形态。在地球上，在满月夜晚，可以看到月亮是圆形的；在夏天的晨曦中，可以看到太阳是红色的圆形。宇航员在太空看到地球是圆形的。用显微镜看细胞是圆形的。用电子显微镜观察水，也可以观察到周期性排列的圆形。当我们烧开水时可以观察到蒸腾的水蒸气上升以后冷却变成雾。当我们乘坐飞机旅行，进入白色云团后发现它是雾。

为什么从宏观天体到微观粒子，都是圆的？
让我们开始逐步证明物质世界的普遍定理。

\subsection{球和椭球}
我们看到的圆形，只是球在我们观察方向为法线方向的平面上的投影。从任何角度观测一个物体都呈圆形，这样的物体是球形，所以我们观察到的月亮和太阳、地球都是球形。精确的观察表明它们是椭球而不是正圆球。后面我们将会证明它们是椭球。

\subsection{发现简史}
我们每天都看到太阳东升西落。在漫长的进化史上，强健的百兽之王-非洲雄狮或灵长类猴子、猩猩都用双眼注视着这些自然现象，困惑不解，最后，黑猩猩进化成人类，率先拥有了高度发达的大脑神经网络，计算出了这些现象背后隐藏的方程。